3.373 \(\int \frac {\cot ^2(e+f x)}{(a+b \sec ^2(e+f x))^3} \, dx\)

Optimal. Leaf size=181 \[ -\frac {x}{a^3}-\frac {\left (8 a^2-11 a b-4 b^2\right ) \cot (e+f x)}{8 a^2 f (a+b)^3}-\frac {b (9 a+4 b) \cot (e+f x)}{8 a^2 f (a+b)^2 \left (a+b \tan ^2(e+f x)+b\right )}+\frac {b^{3/2} \left (35 a^2+28 a b+8 b^2\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {\sqrt {b} \tan (e+f x)}{\sqrt {a+b}}\right )}{8 a^3 f (a+b)^{7/2}}-\frac {b \cot (e+f x)}{4 a f (a+b) \left (a+b \tan ^2(e+f x)+b\right )^2} \]

[Out]

-x/a^3+1/8*b^(3/2)*(35*a^2+28*a*b+8*b^2)*arctan(b^(1/2)*tan(f*x+e)/(a+b)^(1/2))/a^3/(a+b)^(7/2)/f-1/8*(8*a^2-1
1*a*b-4*b^2)*cot(f*x+e)/a^2/(a+b)^3/f-1/4*b*cot(f*x+e)/a/(a+b)/f/(a+b+b*tan(f*x+e)^2)^2-1/8*b*(9*a+4*b)*cot(f*
x+e)/a^2/(a+b)^2/f/(a+b+b*tan(f*x+e)^2)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.38, antiderivative size = 181, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 8, number of rules used = 8, integrand size = 23, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.348, Rules used = {4141, 1975, 472, 579, 583, 522, 203, 205} \[ \frac {b^{3/2} \left (35 a^2+28 a b+8 b^2\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {\sqrt {b} \tan (e+f x)}{\sqrt {a+b}}\right )}{8 a^3 f (a+b)^{7/2}}-\frac {\left (8 a^2-11 a b-4 b^2\right ) \cot (e+f x)}{8 a^2 f (a+b)^3}-\frac {b (9 a+4 b) \cot (e+f x)}{8 a^2 f (a+b)^2 \left (a+b \tan ^2(e+f x)+b\right )}-\frac {x}{a^3}-\frac {b \cot (e+f x)}{4 a f (a+b) \left (a+b \tan ^2(e+f x)+b\right )^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Cot[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3,x]

[Out]

-(x/a^3) + (b^(3/2)*(35*a^2 + 28*a*b + 8*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(8*a^3*(a + b)^(7/2)
*f) - ((8*a^2 - 11*a*b - 4*b^2)*Cot[e + f*x])/(8*a^2*(a + b)^3*f) - (b*Cot[e + f*x])/(4*a*(a + b)*f*(a + b + b
*Tan[e + f*x]^2)^2) - (b*(9*a + 4*b)*Cot[e + f*x])/(8*a^2*(a + b)^2*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))

Rule 203

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTan[(Rt[b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[b, 2]), x] /;
FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || GtQ[b, 0])

Rule 205

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]])/a, x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rule 472

Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> -Simp[(b*(e*x
)^(m + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q + 1))/(a*e*n*(b*c - a*d)*(p + 1)), x] + Dist[1/(a*n*(b*c - a*d)*(
p + 1)), Int[(e*x)^m*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q*Simp[c*b*(m + 1) + n*(b*c - a*d)*(p + 1) + d*b*(m + n*(
p + q + 2) + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p
, -1] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, n, p, q, x]

Rule 522

Int[((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))/(((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))), x_Symbol] :> Dist[(b*e - a*f
)/(b*c - a*d), Int[1/(a + b*x^n), x], x] - Dist[(d*e - c*f)/(b*c - a*d), Int[1/(c + d*x^n), x], x] /; FreeQ[{a
, b, c, d, e, f, n}, x]

Rule 579

Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)), x
_Symbol] :> -Simp[((b*e - a*f)*(g*x)^(m + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q + 1))/(a*g*n*(b*c - a*d)*(p +
1)), x] + Dist[1/(a*n*(b*c - a*d)*(p + 1)), Int[(g*x)^m*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q*Simp[c*(b*e - a*f)*(
m + 1) + e*n*(b*c - a*d)*(p + 1) + d*(b*e - a*f)*(m + n*(p + q + 2) + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
e, f, g, m, q}, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1]

Rule 583

Int[((g_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)),
x_Symbol] :> Simp[(e*(g*x)^(m + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q + 1))/(a*c*g*(m + 1)), x] + Dist[1/(a*c*
g^n*(m + 1)), Int[(g*x)^(m + n)*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q*Simp[a*f*c*(m + 1) - e*(b*c + a*d)*(m + n + 1) - e
*n*(b*c*p + a*d*q) - b*e*d*(m + n*(p + q + 2) + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, p, q}, x] &&
IGtQ[n, 0] && LtQ[m, -1]

Rule 1975

Int[(u_)^(p_.)*(v_)^(q_.)*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[(e*x)^m*ExpandToSum[u, x]^p*ExpandToSum[v, x]^q
, x] /; FreeQ[{e, m, p, q}, x] && BinomialQ[{u, v}, x] && EqQ[BinomialDegree[u, x] - BinomialDegree[v, x], 0]
&&  !BinomialMatchQ[{u, v}, x]

Rule 4141

Int[((a_) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_.)*((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> With[
{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Dist[ff/f, Subst[Int[((d*ff*x)^m*(a + b*(1 + ff^2*x^2)^(n/2))^p)/(1 + ff^
2*x^2), x], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, p}, x] && IntegerQ[n/2] && (IntegerQ[m/2] ||
EqQ[n, 2])

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {\cot ^2(e+f x)}{\left (a+b \sec ^2(e+f x)\right )^3} \, dx &=\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{x^2 \left (1+x^2\right ) \left (a+b \left (1+x^2\right )\right )^3} \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{f}\\ &=\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{x^2 \left (1+x^2\right ) \left (a+b+b x^2\right )^3} \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{f}\\ &=-\frac {b \cot (e+f x)}{4 a (a+b) f \left (a+b+b \tan ^2(e+f x)\right )^2}+\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {4 a-b-5 b x^2}{x^2 \left (1+x^2\right ) \left (a+b+b x^2\right )^2} \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{4 a (a+b) f}\\ &=-\frac {b \cot (e+f x)}{4 a (a+b) f \left (a+b+b \tan ^2(e+f x)\right )^2}-\frac {b (9 a+4 b) \cot (e+f x)}{8 a^2 (a+b)^2 f \left (a+b+b \tan ^2(e+f x)\right )}+\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {8 a^2-11 a b-4 b^2-3 b (9 a+4 b) x^2}{x^2 \left (1+x^2\right ) \left (a+b+b x^2\right )} \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{8 a^2 (a+b)^2 f}\\ &=-\frac {\left (8 a^2-11 a b-4 b^2\right ) \cot (e+f x)}{8 a^2 (a+b)^3 f}-\frac {b \cot (e+f x)}{4 a (a+b) f \left (a+b+b \tan ^2(e+f x)\right )^2}-\frac {b (9 a+4 b) \cot (e+f x)}{8 a^2 (a+b)^2 f \left (a+b+b \tan ^2(e+f x)\right )}-\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {8 a^3+32 a^2 b+13 a b^2+4 b^3+b \left (8 a^2-11 a b-4 b^2\right ) x^2}{\left (1+x^2\right ) \left (a+b+b x^2\right )} \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{8 a^2 (a+b)^3 f}\\ &=-\frac {\left (8 a^2-11 a b-4 b^2\right ) \cot (e+f x)}{8 a^2 (a+b)^3 f}-\frac {b \cot (e+f x)}{4 a (a+b) f \left (a+b+b \tan ^2(e+f x)\right )^2}-\frac {b (9 a+4 b) \cot (e+f x)}{8 a^2 (a+b)^2 f \left (a+b+b \tan ^2(e+f x)\right )}-\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{1+x^2} \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{a^3 f}+\frac {\left (b^2 \left (35 a^2+28 a b+8 b^2\right )\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{a+b+b x^2} \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{8 a^3 (a+b)^3 f}\\ &=-\frac {x}{a^3}+\frac {b^{3/2} \left (35 a^2+28 a b+8 b^2\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {\sqrt {b} \tan (e+f x)}{\sqrt {a+b}}\right )}{8 a^3 (a+b)^{7/2} f}-\frac {\left (8 a^2-11 a b-4 b^2\right ) \cot (e+f x)}{8 a^2 (a+b)^3 f}-\frac {b \cot (e+f x)}{4 a (a+b) f \left (a+b+b \tan ^2(e+f x)\right )^2}-\frac {b (9 a+4 b) \cot (e+f x)}{8 a^2 (a+b)^2 f \left (a+b+b \tan ^2(e+f x)\right )}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [C]  time = 7.09, size = 2089, normalized size = 11.54 \[ \text {Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[Cot[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3,x]

[Out]

((35*a^2 + 28*a*b + 8*b^2)*(a + 2*b + a*Cos[2*e + 2*f*x])^3*Sec[e + f*x]^6*(-1/64*(b^2*ArcTan[Sec[f*x]*(Cos[2*
e]/(2*Sqrt[a + b]*Sqrt[b*Cos[4*e] - I*b*Sin[4*e]]) - ((I/2)*Sin[2*e])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[b*Cos[4*e] - I*b*Sin[4
*e]]))*(-(a*Sin[f*x]) - 2*b*Sin[f*x] + a*Sin[2*e + f*x])]*Cos[2*e])/(a^3*Sqrt[a + b]*f*Sqrt[b*Cos[4*e] - I*b*S
in[4*e]]) + ((I/64)*b^2*ArcTan[Sec[f*x]*(Cos[2*e]/(2*Sqrt[a + b]*Sqrt[b*Cos[4*e] - I*b*Sin[4*e]]) - ((I/2)*Sin
[2*e])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[b*Cos[4*e] - I*b*Sin[4*e]]))*(-(a*Sin[f*x]) - 2*b*Sin[f*x] + a*Sin[2*e + f*x])]*Sin[2
*e])/(a^3*Sqrt[a + b]*f*Sqrt[b*Cos[4*e] - I*b*Sin[4*e]])))/((a + b)^3*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3) + ((a + 2*b +
a*Cos[2*e + 2*f*x])*Csc[e]*Csc[e + f*x]*Sec[2*e]*Sec[e + f*x]^6*(8*a^5*f*x*Cos[f*x] + 56*a^4*b*f*x*Cos[f*x] +
184*a^3*b^2*f*x*Cos[f*x] + 296*a^2*b^3*f*x*Cos[f*x] + 224*a*b^4*f*x*Cos[f*x] + 64*b^5*f*x*Cos[f*x] - 12*a^5*f*
x*Cos[3*f*x] - 68*a^4*b*f*x*Cos[3*f*x] - 132*a^3*b^2*f*x*Cos[3*f*x] - 108*a^2*b^3*f*x*Cos[3*f*x] - 32*a*b^4*f*
x*Cos[3*f*x] - 8*a^5*f*x*Cos[2*e - f*x] - 56*a^4*b*f*x*Cos[2*e - f*x] - 184*a^3*b^2*f*x*Cos[2*e - f*x] - 296*a
^2*b^3*f*x*Cos[2*e - f*x] - 224*a*b^4*f*x*Cos[2*e - f*x] - 64*b^5*f*x*Cos[2*e - f*x] - 8*a^5*f*x*Cos[2*e + f*x
] - 56*a^4*b*f*x*Cos[2*e + f*x] - 184*a^3*b^2*f*x*Cos[2*e + f*x] - 296*a^2*b^3*f*x*Cos[2*e + f*x] - 224*a*b^4*
f*x*Cos[2*e + f*x] - 64*b^5*f*x*Cos[2*e + f*x] + 8*a^5*f*x*Cos[4*e + f*x] + 56*a^4*b*f*x*Cos[4*e + f*x] + 184*
a^3*b^2*f*x*Cos[4*e + f*x] + 296*a^2*b^3*f*x*Cos[4*e + f*x] + 224*a*b^4*f*x*Cos[4*e + f*x] + 64*b^5*f*x*Cos[4*
e + f*x] + 12*a^5*f*x*Cos[2*e + 3*f*x] + 68*a^4*b*f*x*Cos[2*e + 3*f*x] + 132*a^3*b^2*f*x*Cos[2*e + 3*f*x] + 10
8*a^2*b^3*f*x*Cos[2*e + 3*f*x] + 32*a*b^4*f*x*Cos[2*e + 3*f*x] - 12*a^5*f*x*Cos[4*e + 3*f*x] - 68*a^4*b*f*x*Co
s[4*e + 3*f*x] - 132*a^3*b^2*f*x*Cos[4*e + 3*f*x] - 108*a^2*b^3*f*x*Cos[4*e + 3*f*x] - 32*a*b^4*f*x*Cos[4*e +
3*f*x] + 12*a^5*f*x*Cos[6*e + 3*f*x] + 68*a^4*b*f*x*Cos[6*e + 3*f*x] + 132*a^3*b^2*f*x*Cos[6*e + 3*f*x] + 108*
a^2*b^3*f*x*Cos[6*e + 3*f*x] + 32*a*b^4*f*x*Cos[6*e + 3*f*x] - 4*a^5*f*x*Cos[2*e + 5*f*x] - 12*a^4*b*f*x*Cos[2
*e + 5*f*x] - 12*a^3*b^2*f*x*Cos[2*e + 5*f*x] - 4*a^2*b^3*f*x*Cos[2*e + 5*f*x] + 4*a^5*f*x*Cos[4*e + 5*f*x] +
12*a^4*b*f*x*Cos[4*e + 5*f*x] + 12*a^3*b^2*f*x*Cos[4*e + 5*f*x] + 4*a^2*b^3*f*x*Cos[4*e + 5*f*x] - 4*a^5*f*x*C
os[6*e + 5*f*x] - 12*a^4*b*f*x*Cos[6*e + 5*f*x] - 12*a^3*b^2*f*x*Cos[6*e + 5*f*x] - 4*a^2*b^3*f*x*Cos[6*e + 5*
f*x] + 4*a^5*f*x*Cos[8*e + 5*f*x] + 12*a^4*b*f*x*Cos[8*e + 5*f*x] + 12*a^3*b^2*f*x*Cos[8*e + 5*f*x] + 4*a^2*b^
3*f*x*Cos[8*e + 5*f*x] - 32*a^5*Sin[f*x] - 64*a^4*b*Sin[f*x] - 30*a^2*b^3*Sin[f*x] - 120*a*b^4*Sin[f*x] - 48*b
^5*Sin[f*x] + 32*a^5*Sin[3*f*x] + 64*a^4*b*Sin[3*f*x] + 26*a^3*b^2*Sin[3*f*x] + 86*a^2*b^3*Sin[3*f*x] + 32*a*b
^4*Sin[3*f*x] - 48*a^5*Sin[2*e - f*x] - 128*a^4*b*Sin[2*e - f*x] - 128*a^3*b^2*Sin[2*e - f*x] - 30*a^2*b^3*Sin
[2*e - f*x] - 120*a*b^4*Sin[2*e - f*x] - 48*b^5*Sin[2*e - f*x] + 48*a^5*Sin[2*e + f*x] + 128*a^4*b*Sin[2*e + f
*x] + 102*a^3*b^2*Sin[2*e + f*x] - 86*a^2*b^3*Sin[2*e + f*x] - 136*a*b^4*Sin[2*e + f*x] - 48*b^5*Sin[2*e + f*x
] - 32*a^5*Sin[4*e + f*x] - 64*a^4*b*Sin[4*e + f*x] + 26*a^3*b^2*Sin[4*e + f*x] + 86*a^2*b^3*Sin[4*e + f*x] +
136*a*b^4*Sin[4*e + f*x] + 48*b^5*Sin[4*e + f*x] - 8*a^5*Sin[2*e + 3*f*x] - 26*a^3*b^2*Sin[2*e + 3*f*x] - 86*a
^2*b^3*Sin[2*e + 3*f*x] - 32*a*b^4*Sin[2*e + 3*f*x] + 32*a^5*Sin[4*e + 3*f*x] + 64*a^4*b*Sin[4*e + 3*f*x] - 13
*a^3*b^2*Sin[4*e + 3*f*x] - 36*a^2*b^3*Sin[4*e + 3*f*x] - 16*a*b^4*Sin[4*e + 3*f*x] - 8*a^5*Sin[6*e + 3*f*x] +
13*a^3*b^2*Sin[6*e + 3*f*x] + 36*a^2*b^3*Sin[6*e + 3*f*x] + 16*a*b^4*Sin[6*e + 3*f*x] + 8*a^5*Sin[2*e + 5*f*x
] + 13*a^3*b^2*Sin[2*e + 5*f*x] + 6*a^2*b^3*Sin[2*e + 5*f*x] - 13*a^3*b^2*Sin[4*e + 5*f*x] - 6*a^2*b^3*Sin[4*e
+ 5*f*x] + 8*a^5*Sin[6*e + 5*f*x]))/(512*a^3*(a + b)^3*f*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3)

________________________________________________________________________________________

fricas [B]  time = 0.68, size = 1060, normalized size = 5.86 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cot(f*x+e)^2/(a+b*sec(f*x+e)^2)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

[-1/32*(4*(8*a^5 + 13*a^3*b^2 + 6*a^2*b^3)*cos(f*x + e)^5 + 4*(16*a^4*b - 13*a^3*b^2 + 5*a^2*b^3 + 4*a*b^4)*co
s(f*x + e)^3 - (35*a^2*b^3 + 28*a*b^4 + 8*b^5 + (35*a^4*b + 28*a^3*b^2 + 8*a^2*b^3)*cos(f*x + e)^4 + 2*(35*a^3
*b^2 + 28*a^2*b^3 + 8*a*b^4)*cos(f*x + e)^2)*sqrt(-b/(a + b))*log(((a^2 + 8*a*b + 8*b^2)*cos(f*x + e)^4 - 2*(3
*a*b + 4*b^2)*cos(f*x + e)^2 - 4*((a^2 + 3*a*b + 2*b^2)*cos(f*x + e)^3 - (a*b + b^2)*cos(f*x + e))*sqrt(-b/(a
+ b))*sin(f*x + e) + b^2)/(a^2*cos(f*x + e)^4 + 2*a*b*cos(f*x + e)^2 + b^2))*sin(f*x + e) + 4*(8*a^3*b^2 - 11*
a^2*b^3 - 4*a*b^4)*cos(f*x + e) + 32*((a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*f*x*cos(f*x + e)^4 + 2*(a^4*b + 3*
a^3*b^2 + 3*a^2*b^3 + a*b^4)*f*x*cos(f*x + e)^2 + (a^3*b^2 + 3*a^2*b^3 + 3*a*b^4 + b^5)*f*x)*sin(f*x + e))/(((
a^8 + 3*a^7*b + 3*a^6*b^2 + a^5*b^3)*f*cos(f*x + e)^4 + 2*(a^7*b + 3*a^6*b^2 + 3*a^5*b^3 + a^4*b^4)*f*cos(f*x
+ e)^2 + (a^6*b^2 + 3*a^5*b^3 + 3*a^4*b^4 + a^3*b^5)*f)*sin(f*x + e)), -1/16*(2*(8*a^5 + 13*a^3*b^2 + 6*a^2*b^
3)*cos(f*x + e)^5 + 2*(16*a^4*b - 13*a^3*b^2 + 5*a^2*b^3 + 4*a*b^4)*cos(f*x + e)^3 + (35*a^2*b^3 + 28*a*b^4 +
8*b^5 + (35*a^4*b + 28*a^3*b^2 + 8*a^2*b^3)*cos(f*x + e)^4 + 2*(35*a^3*b^2 + 28*a^2*b^3 + 8*a*b^4)*cos(f*x + e
)^2)*sqrt(b/(a + b))*arctan(1/2*((a + 2*b)*cos(f*x + e)^2 - b)*sqrt(b/(a + b))/(b*cos(f*x + e)*sin(f*x + e)))*
sin(f*x + e) + 2*(8*a^3*b^2 - 11*a^2*b^3 - 4*a*b^4)*cos(f*x + e) + 16*((a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*f
*x*cos(f*x + e)^4 + 2*(a^4*b + 3*a^3*b^2 + 3*a^2*b^3 + a*b^4)*f*x*cos(f*x + e)^2 + (a^3*b^2 + 3*a^2*b^3 + 3*a*
b^4 + b^5)*f*x)*sin(f*x + e))/(((a^8 + 3*a^7*b + 3*a^6*b^2 + a^5*b^3)*f*cos(f*x + e)^4 + 2*(a^7*b + 3*a^6*b^2
+ 3*a^5*b^3 + a^4*b^4)*f*cos(f*x + e)^2 + (a^6*b^2 + 3*a^5*b^3 + 3*a^4*b^4 + a^3*b^5)*f)*sin(f*x + e))]

________________________________________________________________________________________

giac [A]  time = 2.40, size = 257, normalized size = 1.42 \[ \frac {\frac {{\left (35 \, a^{2} b^{2} + 28 \, a b^{3} + 8 \, b^{4}\right )} {\left (\pi \left \lfloor \frac {f x + e}{\pi } + \frac {1}{2} \right \rfloor \mathrm {sgn}\relax (b) + \arctan \left (\frac {b \tan \left (f x + e\right )}{\sqrt {a b + b^{2}}}\right )\right )}}{{\left (a^{6} + 3 \, a^{5} b + 3 \, a^{4} b^{2} + a^{3} b^{3}\right )} \sqrt {a b + b^{2}}} + \frac {11 \, a b^{3} \tan \left (f x + e\right )^{3} + 4 \, b^{4} \tan \left (f x + e\right )^{3} + 13 \, a^{2} b^{2} \tan \left (f x + e\right ) + 17 \, a b^{3} \tan \left (f x + e\right ) + 4 \, b^{4} \tan \left (f x + e\right )}{{\left (a^{5} + 3 \, a^{4} b + 3 \, a^{3} b^{2} + a^{2} b^{3}\right )} {\left (b \tan \left (f x + e\right )^{2} + a + b\right )}^{2}} - \frac {8 \, {\left (f x + e\right )}}{a^{3}} - \frac {8}{{\left (a^{3} + 3 \, a^{2} b + 3 \, a b^{2} + b^{3}\right )} \tan \left (f x + e\right )}}{8 \, f} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cot(f*x+e)^2/(a+b*sec(f*x+e)^2)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

1/8*((35*a^2*b^2 + 28*a*b^3 + 8*b^4)*(pi*floor((f*x + e)/pi + 1/2)*sgn(b) + arctan(b*tan(f*x + e)/sqrt(a*b + b
^2)))/((a^6 + 3*a^5*b + 3*a^4*b^2 + a^3*b^3)*sqrt(a*b + b^2)) + (11*a*b^3*tan(f*x + e)^3 + 4*b^4*tan(f*x + e)^
3 + 13*a^2*b^2*tan(f*x + e) + 17*a*b^3*tan(f*x + e) + 4*b^4*tan(f*x + e))/((a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^
3)*(b*tan(f*x + e)^2 + a + b)^2) - 8*(f*x + e)/a^3 - 8/((a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*tan(f*x + e)))/f

________________________________________________________________________________________

maple [B]  time = 1.15, size = 337, normalized size = 1.86 \[ \frac {11 b^{3} \left (\tan ^{3}\left (f x +e \right )\right )}{8 f \left (a +b \right )^{3} a \left (a +b +b \left (\tan ^{2}\left (f x +e \right )\right )\right )^{2}}+\frac {b^{4} \left (\tan ^{3}\left (f x +e \right )\right )}{2 f \left (a +b \right )^{3} a^{2} \left (a +b +b \left (\tan ^{2}\left (f x +e \right )\right )\right )^{2}}+\frac {13 b^{2} \tan \left (f x +e \right )}{8 f \left (a +b \right )^{3} \left (a +b +b \left (\tan ^{2}\left (f x +e \right )\right )\right )^{2}}+\frac {17 b^{3} \tan \left (f x +e \right )}{8 f \left (a +b \right )^{3} a \left (a +b +b \left (\tan ^{2}\left (f x +e \right )\right )\right )^{2}}+\frac {b^{4} \tan \left (f x +e \right )}{2 f \left (a +b \right )^{3} a^{2} \left (a +b +b \left (\tan ^{2}\left (f x +e \right )\right )\right )^{2}}+\frac {35 b^{2} \arctan \left (\frac {\tan \left (f x +e \right ) b}{\sqrt {\left (a +b \right ) b}}\right )}{8 f \left (a +b \right )^{3} a \sqrt {\left (a +b \right ) b}}+\frac {7 b^{3} \arctan \left (\frac {\tan \left (f x +e \right ) b}{\sqrt {\left (a +b \right ) b}}\right )}{2 f \left (a +b \right )^{3} a^{2} \sqrt {\left (a +b \right ) b}}+\frac {b^{4} \arctan \left (\frac {\tan \left (f x +e \right ) b}{\sqrt {\left (a +b \right ) b}}\right )}{f \left (a +b \right )^{3} a^{3} \sqrt {\left (a +b \right ) b}}-\frac {1}{f \left (a +b \right )^{3} \tan \left (f x +e \right )}-\frac {\arctan \left (\tan \left (f x +e \right )\right )}{f \,a^{3}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(cot(f*x+e)^2/(a+b*sec(f*x+e)^2)^3,x)

[Out]

11/8/f*b^3/(a+b)^3/a/(a+b+b*tan(f*x+e)^2)^2*tan(f*x+e)^3+1/2/f*b^4/(a+b)^3/a^2/(a+b+b*tan(f*x+e)^2)^2*tan(f*x+
e)^3+13/8/f*b^2/(a+b)^3/(a+b+b*tan(f*x+e)^2)^2*tan(f*x+e)+17/8/f*b^3/(a+b)^3/a/(a+b+b*tan(f*x+e)^2)^2*tan(f*x+
e)+1/2/f*b^4/(a+b)^3/a^2/(a+b+b*tan(f*x+e)^2)^2*tan(f*x+e)+35/8/f*b^2/(a+b)^3/a/((a+b)*b)^(1/2)*arctan(tan(f*x
+e)*b/((a+b)*b)^(1/2))+7/2/f*b^3/(a+b)^3/a^2/((a+b)*b)^(1/2)*arctan(tan(f*x+e)*b/((a+b)*b)^(1/2))+1/f*b^4/(a+b
)^3/a^3/((a+b)*b)^(1/2)*arctan(tan(f*x+e)*b/((a+b)*b)^(1/2))-1/f/(a+b)^3/tan(f*x+e)-1/f/a^3*arctan(tan(f*x+e))

________________________________________________________________________________________

maxima [A]  time = 0.46, size = 311, normalized size = 1.72 \[ \frac {\frac {{\left (35 \, a^{2} b^{2} + 28 \, a b^{3} + 8 \, b^{4}\right )} \arctan \left (\frac {b \tan \left (f x + e\right )}{\sqrt {{\left (a + b\right )} b}}\right )}{{\left (a^{6} + 3 \, a^{5} b + 3 \, a^{4} b^{2} + a^{3} b^{3}\right )} \sqrt {{\left (a + b\right )} b}} - \frac {{\left (8 \, a^{2} b^{2} - 11 \, a b^{3} - 4 \, b^{4}\right )} \tan \left (f x + e\right )^{4} + 8 \, a^{4} + 16 \, a^{3} b + 8 \, a^{2} b^{2} + {\left (16 \, a^{3} b + 3 \, a^{2} b^{2} - 17 \, a b^{3} - 4 \, b^{4}\right )} \tan \left (f x + e\right )^{2}}{{\left (a^{5} b^{2} + 3 \, a^{4} b^{3} + 3 \, a^{3} b^{4} + a^{2} b^{5}\right )} \tan \left (f x + e\right )^{5} + 2 \, {\left (a^{6} b + 4 \, a^{5} b^{2} + 6 \, a^{4} b^{3} + 4 \, a^{3} b^{4} + a^{2} b^{5}\right )} \tan \left (f x + e\right )^{3} + {\left (a^{7} + 5 \, a^{6} b + 10 \, a^{5} b^{2} + 10 \, a^{4} b^{3} + 5 \, a^{3} b^{4} + a^{2} b^{5}\right )} \tan \left (f x + e\right )} - \frac {8 \, {\left (f x + e\right )}}{a^{3}}}{8 \, f} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cot(f*x+e)^2/(a+b*sec(f*x+e)^2)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/8*((35*a^2*b^2 + 28*a*b^3 + 8*b^4)*arctan(b*tan(f*x + e)/sqrt((a + b)*b))/((a^6 + 3*a^5*b + 3*a^4*b^2 + a^3*
b^3)*sqrt((a + b)*b)) - ((8*a^2*b^2 - 11*a*b^3 - 4*b^4)*tan(f*x + e)^4 + 8*a^4 + 16*a^3*b + 8*a^2*b^2 + (16*a^
3*b + 3*a^2*b^2 - 17*a*b^3 - 4*b^4)*tan(f*x + e)^2)/((a^5*b^2 + 3*a^4*b^3 + 3*a^3*b^4 + a^2*b^5)*tan(f*x + e)^
5 + 2*(a^6*b + 4*a^5*b^2 + 6*a^4*b^3 + 4*a^3*b^4 + a^2*b^5)*tan(f*x + e)^3 + (a^7 + 5*a^6*b + 10*a^5*b^2 + 10*
a^4*b^3 + 5*a^3*b^4 + a^2*b^5)*tan(f*x + e)) - 8*(f*x + e)/a^3)/f

________________________________________________________________________________________

mupad [B]  time = 10.71, size = 4890, normalized size = 27.02 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(cot(e + f*x)^2/(a + b/cos(e + f*x)^2)^3,x)

[Out]

((tan(e + f*x)^4*(11*a*b^3 + 4*b^4 - 8*a^2*b^2))/(8*a^2*(a + b)^3) - 1/(a + b) + (tan(e + f*x)^2*(13*a*b^2 - 1
6*a^2*b + 4*b^3))/(8*a^2*(a + b)^2))/(f*(tan(e + f*x)^3*(2*a*b + 2*b^2) + tan(e + f*x)*(2*a*b + a^2 + b^2) + b
^2*tan(e + f*x)^5)) - atan((286720*a^6*b^15*tan(e + f*x))/(286720*a^6*b^15 + 3619840*a^7*b^14 + 21052416*a^8*b
^13 + 74346496*a^9*b^12 + 177172480*a^10*b^11 + 299796480*a^11*b^10 + 369346560*a^12*b^9 + 334344192*a^13*b^8
+ 221663232*a^14*b^7 + 105978880*a^15*b^6 + 35445760*a^16*b^5 + 7864320*a^17*b^4 + 1048576*a^18*b^3 + 65536*a^
19*b^2) + (3619840*a^7*b^14*tan(e + f*x))/(286720*a^6*b^15 + 3619840*a^7*b^14 + 21052416*a^8*b^13 + 74346496*a
^9*b^12 + 177172480*a^10*b^11 + 299796480*a^11*b^10 + 369346560*a^12*b^9 + 334344192*a^13*b^8 + 221663232*a^14
*b^7 + 105978880*a^15*b^6 + 35445760*a^16*b^5 + 7864320*a^17*b^4 + 1048576*a^18*b^3 + 65536*a^19*b^2) + (21052
416*a^8*b^13*tan(e + f*x))/(286720*a^6*b^15 + 3619840*a^7*b^14 + 21052416*a^8*b^13 + 74346496*a^9*b^12 + 17717
2480*a^10*b^11 + 299796480*a^11*b^10 + 369346560*a^12*b^9 + 334344192*a^13*b^8 + 221663232*a^14*b^7 + 10597888
0*a^15*b^6 + 35445760*a^16*b^5 + 7864320*a^17*b^4 + 1048576*a^18*b^3 + 65536*a^19*b^2) + (74346496*a^9*b^12*ta
n(e + f*x))/(286720*a^6*b^15 + 3619840*a^7*b^14 + 21052416*a^8*b^13 + 74346496*a^9*b^12 + 177172480*a^10*b^11
+ 299796480*a^11*b^10 + 369346560*a^12*b^9 + 334344192*a^13*b^8 + 221663232*a^14*b^7 + 105978880*a^15*b^6 + 35
445760*a^16*b^5 + 7864320*a^17*b^4 + 1048576*a^18*b^3 + 65536*a^19*b^2) + (177172480*a^10*b^11*tan(e + f*x))/(
286720*a^6*b^15 + 3619840*a^7*b^14 + 21052416*a^8*b^13 + 74346496*a^9*b^12 + 177172480*a^10*b^11 + 299796480*a
^11*b^10 + 369346560*a^12*b^9 + 334344192*a^13*b^8 + 221663232*a^14*b^7 + 105978880*a^15*b^6 + 35445760*a^16*b
^5 + 7864320*a^17*b^4 + 1048576*a^18*b^3 + 65536*a^19*b^2) + (299796480*a^11*b^10*tan(e + f*x))/(286720*a^6*b^
15 + 3619840*a^7*b^14 + 21052416*a^8*b^13 + 74346496*a^9*b^12 + 177172480*a^10*b^11 + 299796480*a^11*b^10 + 36
9346560*a^12*b^9 + 334344192*a^13*b^8 + 221663232*a^14*b^7 + 105978880*a^15*b^6 + 35445760*a^16*b^5 + 7864320*
a^17*b^4 + 1048576*a^18*b^3 + 65536*a^19*b^2) + (369346560*a^12*b^9*tan(e + f*x))/(286720*a^6*b^15 + 3619840*a
^7*b^14 + 21052416*a^8*b^13 + 74346496*a^9*b^12 + 177172480*a^10*b^11 + 299796480*a^11*b^10 + 369346560*a^12*b
^9 + 334344192*a^13*b^8 + 221663232*a^14*b^7 + 105978880*a^15*b^6 + 35445760*a^16*b^5 + 7864320*a^17*b^4 + 104
8576*a^18*b^3 + 65536*a^19*b^2) + (334344192*a^13*b^8*tan(e + f*x))/(286720*a^6*b^15 + 3619840*a^7*b^14 + 2105
2416*a^8*b^13 + 74346496*a^9*b^12 + 177172480*a^10*b^11 + 299796480*a^11*b^10 + 369346560*a^12*b^9 + 334344192
*a^13*b^8 + 221663232*a^14*b^7 + 105978880*a^15*b^6 + 35445760*a^16*b^5 + 7864320*a^17*b^4 + 1048576*a^18*b^3
+ 65536*a^19*b^2) + (221663232*a^14*b^7*tan(e + f*x))/(286720*a^6*b^15 + 3619840*a^7*b^14 + 21052416*a^8*b^13
+ 74346496*a^9*b^12 + 177172480*a^10*b^11 + 299796480*a^11*b^10 + 369346560*a^12*b^9 + 334344192*a^13*b^8 + 22
1663232*a^14*b^7 + 105978880*a^15*b^6 + 35445760*a^16*b^5 + 7864320*a^17*b^4 + 1048576*a^18*b^3 + 65536*a^19*b
^2) + (105978880*a^15*b^6*tan(e + f*x))/(286720*a^6*b^15 + 3619840*a^7*b^14 + 21052416*a^8*b^13 + 74346496*a^9
*b^12 + 177172480*a^10*b^11 + 299796480*a^11*b^10 + 369346560*a^12*b^9 + 334344192*a^13*b^8 + 221663232*a^14*b
^7 + 105978880*a^15*b^6 + 35445760*a^16*b^5 + 7864320*a^17*b^4 + 1048576*a^18*b^3 + 65536*a^19*b^2) + (3544576
0*a^16*b^5*tan(e + f*x))/(286720*a^6*b^15 + 3619840*a^7*b^14 + 21052416*a^8*b^13 + 74346496*a^9*b^12 + 1771724
80*a^10*b^11 + 299796480*a^11*b^10 + 369346560*a^12*b^9 + 334344192*a^13*b^8 + 221663232*a^14*b^7 + 105978880*
a^15*b^6 + 35445760*a^16*b^5 + 7864320*a^17*b^4 + 1048576*a^18*b^3 + 65536*a^19*b^2) + (7864320*a^17*b^4*tan(e
+ f*x))/(286720*a^6*b^15 + 3619840*a^7*b^14 + 21052416*a^8*b^13 + 74346496*a^9*b^12 + 177172480*a^10*b^11 + 2
99796480*a^11*b^10 + 369346560*a^12*b^9 + 334344192*a^13*b^8 + 221663232*a^14*b^7 + 105978880*a^15*b^6 + 35445
760*a^16*b^5 + 7864320*a^17*b^4 + 1048576*a^18*b^3 + 65536*a^19*b^2) + (1048576*a^18*b^3*tan(e + f*x))/(286720
*a^6*b^15 + 3619840*a^7*b^14 + 21052416*a^8*b^13 + 74346496*a^9*b^12 + 177172480*a^10*b^11 + 299796480*a^11*b^
10 + 369346560*a^12*b^9 + 334344192*a^13*b^8 + 221663232*a^14*b^7 + 105978880*a^15*b^6 + 35445760*a^16*b^5 + 7
864320*a^17*b^4 + 1048576*a^18*b^3 + 65536*a^19*b^2) + (65536*a^19*b^2*tan(e + f*x))/(286720*a^6*b^15 + 361984
0*a^7*b^14 + 21052416*a^8*b^13 + 74346496*a^9*b^12 + 177172480*a^10*b^11 + 299796480*a^11*b^10 + 369346560*a^1
2*b^9 + 334344192*a^13*b^8 + 221663232*a^14*b^7 + 105978880*a^15*b^6 + 35445760*a^16*b^5 + 7864320*a^17*b^4 +
1048576*a^18*b^3 + 65536*a^19*b^2))/(a^3*f) - (atan((((-b^3*(a + b)^7)^(1/2)*(tan(e + f*x)*(131072*a^6*b^18 +
2031616*a^7*b^17 + 14745600*a^8*b^16 + 66232320*a^9*b^15 + 205112320*a^10*b^14 + 462013440*a^11*b^13 + 7784734
72*a^12*b^12 + 994283520*a^13*b^11 + 965376000*a^14*b^10 + 708392960*a^15*b^9 + 387272704*a^16*b^8 + 154054656
*a^17*b^7 + 43115520*a^18*b^6 + 8135680*a^19*b^5 + 983040*a^20*b^4 + 65536*a^21*b^3) - ((-b^3*(a + b)^7)^(1/2)
*(28*a*b + 35*a^2 + 8*b^2)*(65536*a^10*b^17 + 999424*a^11*b^16 + 7405568*a^12*b^15 + 34897920*a^13*b^14 + 1154
74432*a^14*b^13 + 281329664*a^15*b^12 + 517603328*a^16*b^11 + 728825856*a^17*b^10 + 789381120*a^18*b^9 + 65619
5584*a^19*b^8 + 414515200*a^20*b^7 + 195067904*a^21*b^6 + 66060288*a^22*b^5 + 15155200*a^23*b^4 + 2097152*a^24
*b^3 + 131072*a^25*b^2 - (tan(e + f*x)*(-b^3*(a + b)^7)^(1/2)*(28*a*b + 35*a^2 + 8*b^2)*(524288*a^12*b^18 + 81
26464*a^13*b^17 + 58982400*a^14*b^16 + 266076160*a^15*b^15 + 834928640*a^16*b^14 + 1932263424*a^17*b^13 + 3411
279872*a^18*b^12 + 4685824000*a^19*b^11 + 5060689920*a^20*b^10 + 4310958080*a^21*b^9 + 2886467584*a^22*b^8 + 1
502871552*a^23*b^7 + 596377600*a^24*b^6 + 174325760*a^25*b^5 + 35389440*a^26*b^4 + 4456448*a^27*b^3 + 262144*a
^28*b^2))/(16*(7*a^9*b + a^10 + a^3*b^7 + 7*a^4*b^6 + 21*a^5*b^5 + 35*a^6*b^4 + 35*a^7*b^3 + 21*a^8*b^2))))/(1
6*(7*a^9*b + a^10 + a^3*b^7 + 7*a^4*b^6 + 21*a^5*b^5 + 35*a^6*b^4 + 35*a^7*b^3 + 21*a^8*b^2)))*(28*a*b + 35*a^
2 + 8*b^2)*1i)/(16*(7*a^9*b + a^10 + a^3*b^7 + 7*a^4*b^6 + 21*a^5*b^5 + 35*a^6*b^4 + 35*a^7*b^3 + 21*a^8*b^2))
+ ((-b^3*(a + b)^7)^(1/2)*(tan(e + f*x)*(131072*a^6*b^18 + 2031616*a^7*b^17 + 14745600*a^8*b^16 + 66232320*a^
9*b^15 + 205112320*a^10*b^14 + 462013440*a^11*b^13 + 778473472*a^12*b^12 + 994283520*a^13*b^11 + 965376000*a^1
4*b^10 + 708392960*a^15*b^9 + 387272704*a^16*b^8 + 154054656*a^17*b^7 + 43115520*a^18*b^6 + 8135680*a^19*b^5 +
983040*a^20*b^4 + 65536*a^21*b^3) + ((-b^3*(a + b)^7)^(1/2)*(28*a*b + 35*a^2 + 8*b^2)*(65536*a^10*b^17 + 9994
24*a^11*b^16 + 7405568*a^12*b^15 + 34897920*a^13*b^14 + 115474432*a^14*b^13 + 281329664*a^15*b^12 + 517603328*
a^16*b^11 + 728825856*a^17*b^10 + 789381120*a^18*b^9 + 656195584*a^19*b^8 + 414515200*a^20*b^7 + 195067904*a^2
1*b^6 + 66060288*a^22*b^5 + 15155200*a^23*b^4 + 2097152*a^24*b^3 + 131072*a^25*b^2 + (tan(e + f*x)*(-b^3*(a +
b)^7)^(1/2)*(28*a*b + 35*a^2 + 8*b^2)*(524288*a^12*b^18 + 8126464*a^13*b^17 + 58982400*a^14*b^16 + 266076160*a
^15*b^15 + 834928640*a^16*b^14 + 1932263424*a^17*b^13 + 3411279872*a^18*b^12 + 4685824000*a^19*b^11 + 50606899
20*a^20*b^10 + 4310958080*a^21*b^9 + 2886467584*a^22*b^8 + 1502871552*a^23*b^7 + 596377600*a^24*b^6 + 17432576
0*a^25*b^5 + 35389440*a^26*b^4 + 4456448*a^27*b^3 + 262144*a^28*b^2))/(16*(7*a^9*b + a^10 + a^3*b^7 + 7*a^4*b^
6 + 21*a^5*b^5 + 35*a^6*b^4 + 35*a^7*b^3 + 21*a^8*b^2))))/(16*(7*a^9*b + a^10 + a^3*b^7 + 7*a^4*b^6 + 21*a^5*b
^5 + 35*a^6*b^4 + 35*a^7*b^3 + 21*a^8*b^2)))*(28*a*b + 35*a^2 + 8*b^2)*1i)/(16*(7*a^9*b + a^10 + a^3*b^7 + 7*a
^4*b^6 + 21*a^5*b^5 + 35*a^6*b^4 + 35*a^7*b^3 + 21*a^8*b^2)))/(32768*a^4*b^17 + 499712*a^5*b^16 + 3416064*a^6*
b^15 + 13829120*a^7*b^14 + 36684800*a^8*b^13 + 66318336*a^9*b^12 + 81629184*a^10*b^11 + 64616448*a^11*b^10 + 2
5344000*a^12*b^9 - 6246400*a^13*b^8 - 14405632*a^14*b^7 - 8444928*a^15*b^6 - 2415616*a^16*b^5 - 286720*a^17*b^
4 - ((-b^3*(a + b)^7)^(1/2)*(tan(e + f*x)*(131072*a^6*b^18 + 2031616*a^7*b^17 + 14745600*a^8*b^16 + 66232320*a
^9*b^15 + 205112320*a^10*b^14 + 462013440*a^11*b^13 + 778473472*a^12*b^12 + 994283520*a^13*b^11 + 965376000*a^
14*b^10 + 708392960*a^15*b^9 + 387272704*a^16*b^8 + 154054656*a^17*b^7 + 43115520*a^18*b^6 + 8135680*a^19*b^5
+ 983040*a^20*b^4 + 65536*a^21*b^3) - ((-b^3*(a + b)^7)^(1/2)*(28*a*b + 35*a^2 + 8*b^2)*(65536*a^10*b^17 + 999
424*a^11*b^16 + 7405568*a^12*b^15 + 34897920*a^13*b^14 + 115474432*a^14*b^13 + 281329664*a^15*b^12 + 517603328
*a^16*b^11 + 728825856*a^17*b^10 + 789381120*a^18*b^9 + 656195584*a^19*b^8 + 414515200*a^20*b^7 + 195067904*a^
21*b^6 + 66060288*a^22*b^5 + 15155200*a^23*b^4 + 2097152*a^24*b^3 + 131072*a^25*b^2 - (tan(e + f*x)*(-b^3*(a +
b)^7)^(1/2)*(28*a*b + 35*a^2 + 8*b^2)*(524288*a^12*b^18 + 8126464*a^13*b^17 + 58982400*a^14*b^16 + 266076160*
a^15*b^15 + 834928640*a^16*b^14 + 1932263424*a^17*b^13 + 3411279872*a^18*b^12 + 4685824000*a^19*b^11 + 5060689
920*a^20*b^10 + 4310958080*a^21*b^9 + 2886467584*a^22*b^8 + 1502871552*a^23*b^7 + 596377600*a^24*b^6 + 1743257
60*a^25*b^5 + 35389440*a^26*b^4 + 4456448*a^27*b^3 + 262144*a^28*b^2))/(16*(7*a^9*b + a^10 + a^3*b^7 + 7*a^4*b
^6 + 21*a^5*b^5 + 35*a^6*b^4 + 35*a^7*b^3 + 21*a^8*b^2))))/(16*(7*a^9*b + a^10 + a^3*b^7 + 7*a^4*b^6 + 21*a^5*
b^5 + 35*a^6*b^4 + 35*a^7*b^3 + 21*a^8*b^2)))*(28*a*b + 35*a^2 + 8*b^2))/(16*(7*a^9*b + a^10 + a^3*b^7 + 7*a^4
*b^6 + 21*a^5*b^5 + 35*a^6*b^4 + 35*a^7*b^3 + 21*a^8*b^2)) + ((-b^3*(a + b)^7)^(1/2)*(tan(e + f*x)*(131072*a^6
*b^18 + 2031616*a^7*b^17 + 14745600*a^8*b^16 + 66232320*a^9*b^15 + 205112320*a^10*b^14 + 462013440*a^11*b^13 +
778473472*a^12*b^12 + 994283520*a^13*b^11 + 965376000*a^14*b^10 + 708392960*a^15*b^9 + 387272704*a^16*b^8 + 1
54054656*a^17*b^7 + 43115520*a^18*b^6 + 8135680*a^19*b^5 + 983040*a^20*b^4 + 65536*a^21*b^3) + ((-b^3*(a + b)^
7)^(1/2)*(28*a*b + 35*a^2 + 8*b^2)*(65536*a^10*b^17 + 999424*a^11*b^16 + 7405568*a^12*b^15 + 34897920*a^13*b^1
4 + 115474432*a^14*b^13 + 281329664*a^15*b^12 + 517603328*a^16*b^11 + 728825856*a^17*b^10 + 789381120*a^18*b^9
+ 656195584*a^19*b^8 + 414515200*a^20*b^7 + 195067904*a^21*b^6 + 66060288*a^22*b^5 + 15155200*a^23*b^4 + 2097
152*a^24*b^3 + 131072*a^25*b^2 + (tan(e + f*x)*(-b^3*(a + b)^7)^(1/2)*(28*a*b + 35*a^2 + 8*b^2)*(524288*a^12*b
^18 + 8126464*a^13*b^17 + 58982400*a^14*b^16 + 266076160*a^15*b^15 + 834928640*a^16*b^14 + 1932263424*a^17*b^1
3 + 3411279872*a^18*b^12 + 4685824000*a^19*b^11 + 5060689920*a^20*b^10 + 4310958080*a^21*b^9 + 2886467584*a^22
*b^8 + 1502871552*a^23*b^7 + 596377600*a^24*b^6 + 174325760*a^25*b^5 + 35389440*a^26*b^4 + 4456448*a^27*b^3 +
262144*a^28*b^2))/(16*(7*a^9*b + a^10 + a^3*b^7 + 7*a^4*b^6 + 21*a^5*b^5 + 35*a^6*b^4 + 35*a^7*b^3 + 21*a^8*b^
2))))/(16*(7*a^9*b + a^10 + a^3*b^7 + 7*a^4*b^6 + 21*a^5*b^5 + 35*a^6*b^4 + 35*a^7*b^3 + 21*a^8*b^2)))*(28*a*b
+ 35*a^2 + 8*b^2))/(16*(7*a^9*b + a^10 + a^3*b^7 + 7*a^4*b^6 + 21*a^5*b^5 + 35*a^6*b^4 + 35*a^7*b^3 + 21*a^8*
b^2))))*(-b^3*(a + b)^7)^(1/2)*(28*a*b + 35*a^2 + 8*b^2)*1i)/(8*f*(7*a^9*b + a^10 + a^3*b^7 + 7*a^4*b^6 + 21*a
^5*b^5 + 35*a^6*b^4 + 35*a^7*b^3 + 21*a^8*b^2))

________________________________________________________________________________________

sympy [F(-1)]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \text {Timed out} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cot(f*x+e)**2/(a+b*sec(f*x+e)**2)**3,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________